Premier algorithme de Briggs

L’algorithme suivant – qui porte parfois le nom de Briggs – permet de calculer le logarithme décimal de tout réel compris entre 1 et 10… Ce qui est amplement suffisant pour calculer le logarithme de n’importe quel nombre.
En effet, pour tout réel positif \(x\) , il existe un réel  \(a\) compris entre 1 et 10 et un entier relatif  \(n\) tel que \(x=a \times 10^n\)  (il s’agit de l’écriture scientifique étendue à tous les réels, et pas seulement aux nombres décimaux). 
Ainsi, on a \(\log(x)=\log(a \times 10^n)=\log(a)+\log(10^n)=\log(a)+n\) .
Le principe de cet algorithme ressemble beaucoup à celui de l’algorithme de dichotomie, utilisé pour trouver une valeur approchée d’une solution d’une équation. 

On souhaite calculer le logarithme décimal d'un réel  \(a\) compris entre 1 et 10 avec une précision de  \(10^{-p}\)

On initialise nos valeurs

• \(g\)  vaut 1 ( \(g\) représente la borne inférieure de l’intervalle).
  
• \(d\)  vaut 10 ( \(d\) représente la borne supérieure de l’intervalle,  \(a\) sera toujours dans l’intervalle \([g;d]\) ).
  
• \(\log\_g\)  vaut 0.
  
• \(\log\_d\)  vaut 1.

Tant que l’écart entre \(\log\_g\)  et \(\log\_d\)  est supérieur à  \(10^{−p}\)

• On calcule la moyenne géométrique  \(m\) de  \(g\) et  \(d\) : elle vaut  \(\sqrt{gd}\) .
• On calcule la moyenne arithmétique \(\log\_m\)  de \(\log\_g\)  et \(\log\_d\) , qui correspond au logarithme de  \(m\) .
• Si  \(a\) est supérieur à \(m\) , cela signifie que  \(a\) est entre  \(m\) et \(d\)  et donc que \(\log\_a\) est entre \(\log\_m\) et \(\log\_d\)  par croissance de la fonction  \(\log\) sur  \(]0;+\infty[\) .
  On remplace donc la valeur de  \(g\) par celle de  \(m\) .
  On remplace la valeur de  \(\log\_g\)  par celle de  \(\log\_m\) .
• Sinon,  \(a\) est inférieur ou égal à \(m\) , cela signifie que  \(a\) est entre  \(g\) et  \(m\) et donc que  \(\log\_a\) est entre  \(\log\_g\) et  \(\log\_m\) .
  On remplace donc la valeur de  \(d\) par celle de  \(m\) .
  On remplace la valeur de \(\log\_d\)  par celle de  \(\log\_m\)

Une fois la boucle terminée, on renvoie la valeur de \(\log\_g\) .

Exercice

En reprenant le principe de l'algorithme énoncé ci-dessus, compléter le programme ci-dessous permettant de calculer le logarithme décimal d'un réel  \(a\) compris entre 1 et 10 avec une précision de \(10^{-p}\) .

À l'aide de cette fonction, donner une valeur de  \(\log(5)\) à \(10^{-10}\)  près.

from math import sqrt

def briggs(a, p):
    '''
    a : un réel compris entre 1 et 10 dont on souhaite calculer le logarithme décimal
    p : un entier qui indique la précision souhaitée (10 ** (-p) près )
    '''
    g = ...
    d = ...
    log_g = ...
    log_d = ...
    while log_d - log_g > 10**(-p):
        m = 
        log_m = ...
        if a > m :
            ... = m
            ... = log_m
        else :
            ... = m
            ... = log_m
    return round(log_g,p)